lunes, 24 de agosto de 2015

La hora del reloj parado

Vuelves de unas semanas de vacaciones y te encuentras con el reloj de la cocina parado. Bueno, en realidad no está parado del todo, la aguja del segundero vibra, hace un esfuerzo por moverse una vez por segundo sin terminar de conseguirlo.

¿A qué hora se ha parado? A la que era esperable… o quizá no del todo.

Mover las manecillas de un reloj de pared cuesta energía pero no la misma a todas las horas. Entre la posición de las 12 y la de las 6 las agujas van cuesta abajo, la gravedad estira de ellas, con lo que el mecanismo no ha de hacer demasiado esfuerzo. Solo hay que mantenerlas frenadas para que vayan a la velocidad que toca. En cambio la otra mitad del recorrido es cuesta arriba. Pasar de las 6 hacia las 7 ya requiere vencer la gravedad, y cuanto más se avanza más esfuerzo hay que hacer. El máximo esfuerzo hay que hacerlo cuando el brazo de palanca es máximo en ese sector, en la posición de las 9.

Podemos suponer que todo el peso de la manecilla está concentrado en su centro de masas, que estará aproximadamente hacia la mitad de la longitud de la misma. La línea que va desde el eje del reloj hasta el centro de masas la podemos imaginar como la cuerda de un péndulo fijado en el eje. El péndulo va a querer oscilar hasta pararse lo más abajo posible: en la posición de las 6. Sin embargo no es ahí donde se han parado realmente las agujas. Claro,  es que el péndulo no es un buen modelo para el reloj de verdad.

Las manecillas están sujetas al eje y este va girando, accionado por el mecanismo, posicionando las agujas de forma que marquen la hora; al menos mientras tenga suficiente pila. Cuando la pila se agota las agujas no quedan libres de forma que puedan pendular hacia las 6, el mecanismo sigue enganchado.

En el eje del reloj se componen los momentos de las fuerzas que actúan. El momento de una fuerza es la magnitud física que describe la capacidad de giro que dicha fuerza ejerce sobre un determinado eje. Matemáticamente se calcula como el producto de la fuerza, por el brazo de palanca (la distancia del punto de aplicación de la fuerza al eje de giro) por el seno del ángulo que forman la fuerza y el brazo. Con esa definición matemática se ve enseguida cuando es máximo el momento del peso de la manecilla. Será cuando forme un ángulo recto con la propia manecilla (seno del ángulo recto vale 1, su máximo valor). Esto ocurre a las 3 y a las 9, en el primer caso a favor del sentido de giro de las agujas y en sentido contrario a las 9.

Cuando la manecilla está en las 9 en el eje está aplicado su máximo momento en sentido antihorario, y para que la manecilla se mueva el mecanismo tiene que aplicar uno, de sentido contrario, un poco mayor. Eso es lo que no consigue cuando la pila no suministra suficiente energía. Si tuvo suficiente para moverla cuando el momento a vencer era un poco menor, pero ya este valor ya no puede con él.
Con la explicación anterior podemos entender que una manecilla se quede parada en la posición de las 9 cuando el reloj agota la pila, pero en la foto se ve que las 3 manecillas se han parado ahí. ¿Es eso esperable o ha sido pura casualidad?

En el eje se compone el momento de los pesos de las tres manecillas y esa suma es la que ha de vencer el mecanismo. Sin duda la posición de todas las agujas a las 9 es la de máximo momento a vencer, o sea que, en términos absolutos, es lugar “natural” en el que debería pararse el reloj. Pero ese lugar natural (o “de equilibrio”) es el que esperamos alcanzar solo si la pila se va gastando muy muy despacito. La contribución de la aguja horaria al momento total, con lo poco que ha de moverse por segundo y lo corta que es, es muy pequeña, seguramente decenas o centenas de veces menor que las otras. Por tanto, el momento en que la pila ya no puede mover el segundero de las 9 podía haberle pillado a la aguja horaria a cualquier hora. En el caso del minutero, estamos en un caso intermedio, su contribución al momento total es menor que la del segundero pero no tan despreciable como la de la horaria.

En resumen, uno esperaría que un reloj de este tipo siempre se parase con el segundero a las 9, bastantes veces con el minutero también a las 9 y solo muy de vez en cuando con las tres agujas ahí, en la posición de máxima energía a vencer. Una bonita casualidad que sirvió para motivar esta reflexión.

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Esta misma entrada se publicó hace unos días en Naukas, y el sucesos es completamente verdadero.
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